Bab 1 Matematika SMK kelas X

BILANGAN  RIIL

   Operasi pada Bilangan Riil
Sistem bilangan merupakan dasar matematika. Oleh karena itu, sangatlah penting untuk mengenal berbagai jenis bilangan dan perbedaan di antara bilangan-bilangan tersebut.

Bilangan Asli

Himpunan bilangan asli (natural) biasa dilambangkan dengan N, adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan asli, seperti dituliskan berikut ini.  N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

Bilangan cacah

If the number 0 is inserted in the original set of numbers, then the set is called the set of counting numbers, and denoted by H, namely: H = (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)
Jika bilangan 0 dimasukkan dalam himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut dinamakan himpunan bilangan cacah, dan dilambangkan dengan H, yaitu: H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Bilangan Bulat

Himpunan bilangan yang dinotasikan dengan lambang Z dan mempunyai anggota seperti berikut ini dinamakan himpunan bilangan bulat (integer), yaitu : Z = {... ,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional, dinotasikan dengan lambang Q. Bilangan rasional berbentuk pembagian bilangan bulat dengan p disebut pembilang (numerator) dan q ≠ 0 disebut penyebut (denominator). Karena itu, himpunan bilangan rasional dapat dituliskan sebagai berikut.
Q= {p/q┤  |p,q ∈Z dan q┤

Berikut ini merupakan contoh-contoh bilangan rasional:
 
1/2, 1/3, 2/3, 4/7,  adalah bilangan rasional yang berbentuk dengan a < b. Bentuk bilangan rasional seperti ini disebut pecahan murni.
 
15/2=7 1/2, 8/3=2 2/3, 21/5,  adalah bilangan rasional yang berbentuk dengan a > b. Bentuk bilangan rasional seperti ini disebut pecahan tak murni.


Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat juga merupakan bilangan rasional karena setiap bilangan bulat p dapat ditulis sebagai pembagian p/1. Bilangan rasional mempunyai tak banyak bentuk representasi bilangan. Seperti bilangan rasional 1 dapat dituliskan dengan 2/2, atau 3/3, atau 4/4, atau yang lainnya

Sifat bilangan rasional:

Nilai dari suatu bilangan rasional tidak berubah, jika pembilang p dan penyebut q keduanya dikalikan atau dibagai dengan bilangan bulat selain 0.

Bentuk Desimal

Berikut ini merupakan contoh-contoh bentuk desimal dari bilangan rasional:
 
nilai 0,5 didapat dari membagi bilangan 1 dengan bilangan 2.
    .
nilai 0,25 didapat dari membagi bilangan 1 dengan bilangan 4.

nilai 7,5 didapat dari membagi bilangan 15 dengan bilangan 2.
 
1/3 = 0,3333….. tanda … menyatakan angka perulangan 3 diulang terus sampai dengan tak  terhingga banyak. Bentuk 0,33333… ini sering disingkat dengan 0, 3 ̅.
 
25/99 = 0,2525….. tanda … menyatakan angka perulangan 25 diulang terus sampai dengan tak berhingga banyak. Bentuk 0,252525… ini sering disingkat dengan 0, (25) ̅.


Dengan memperhatikan contoh di atas, dapat dikatakan bahwa:

1. Ada bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk decimal terbatas, seperti bilangan 0,5 ; 0,25 ;    0,125 dan lainnya.
2. Ada bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk decimal tak terbatas, seperti:
    a.  Bilangan 0,3333… angka 3 dibelakang tanda koma berulang tak terbatas.
    b. Bilangan 0,125125125125… angka 125 dibelakang tanda koma berulang tak terbatas.


Contoh  1 :
Nyatakan bilangan rasional desimal berikut ini ke dalam bentuk pembagian dua bilangan bulat   p/q.
a. 2,3             b. 23,45

Jawab :
a.  Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.

Jadi x = 2,3

Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 10. Kita ambil pengali 10 karena angka dibelakang tanda koma terbatas satu angka. Lanjutkan dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini. 10 x = 23, atau x = 23/10
b.  Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.

Jadi x = 23,45

Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 100. Kita ambil pengali 100 karena angka dibelakang tanda koma terbatas dua angka. Lanjutkan dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini. 100 x = 2345, atau x = 2345/100


Contoh  2 :

Nyatakan bilangan rasional desimal berikut ini ke dalam bentuk pembagian dua bilangan bulat p/q.
a. 1,33333…             b. 0,123123123…

Jawab:
a.   Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.

Jadi x = 1,33333…

Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 10, kita ambil pengali 10 karena angka dibelakang tanda koma tak terbatas dan hanya satu angka yang berulang, yaitu 3. Lanjutkan dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini.
10 x = 13,33333…
10 x = 12 + 1,33333…
10 x = 12 + x
9 x = 12
x = 12/9  = 1 3/9

b.  Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.

Jadi x = 0,123123123…

Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 1000, kita ambil pengali 1000 karena angka dibelakang tanda koma tak terbatas dan hanya tiga angka yang berulang, yaitu 123. Lanjutkan dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini.
1000 x = 123,123123123…
1000 x = 123 + 0,123123123…
1000 x = 123 + x
999 x = 123
x = 123/999
c. Dimisalkan bilangan rasional yang dicari adalah x.

Jadi x = 0,0222222…

Kalikan kedua ruas dari persamaan dengan 100, kita ambil pengali 100 karena angka dibelakang tanda koma ada angka nol dan angka tak terbatas dan hanya satu angka yang berulang, yaitu 2. Lanjutkan dengan operasi aljabar, didapat hasil berikut ini.
100 x = 0,0222222…
100 x = 2 + 0,22222…
90 x = 2 + 10x
90 x = 2
x = 2/90 = 1/45

Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional atau bilangan bukan rasional yaitu bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian bilangan bulat.


Contoh 3 :

Bilangan √2  adalah bilangan irrasional. Jika √2   ditampilkan dalam bentuk desimal angka-angka dibelakang tanda koma pada bilangan tidak ada yang berulang. (√2 = 0,1414213562373095048801688724210……)

 

Bilangan Real

Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut himpunan bilangan real dan dinotasikan dengan R.

 

Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks, yaitu bilangan-bilangan yang berbentuk a + bi dengan a dan b bilangan real.


Contoh 4 :

Beberapa contoh bilangan kompleks, sebagai berikut.
a. 1-2 i = with a = 1 and b = -2.
a. 1-2i = dengan a = 1 dan b = -2.
b. 2 + i = with a = 2 and b = 1.
b. 2+i = dengan a = 2 dan b = 1.
c. -5 +10 i = with a = -5 and b = 10.
c. -5+10i = dengan a = -5 dan b = 10.

Bilangan kompleks yang bukan bilangan real disebut bilangan imajiner.

 
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Sifat-sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan yaitu:

    Komutatif :
a + b = b + a


misalkan:    10 + (-3)
7    =
=    -3 + 10
7
 
    Asosiatif :
(a + b) + c = a + (b + c)


misalkan:    (2 + 7) + 5
9 + 5
14    =
=
=    2 + (7 + 5)
2 + 12
14
 
    Memiliki elemen netral penjumlahan, yaitu 0
 
    Memiliki invers penjumlahan. Invers penjumlahan dari a adalah -a


Contoh 5 :

Invers penjumlahan dari 2 adalah -2, invers penjumlahan dari -5 adalah 5

Untuk penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan,berlaku rumus berikut :
1.   a/c+b/c=(a+b)/c    3.   a/b+c/d=(ad+bc)/bd
2.   a/c-b/c=(a-b)/c    4.   a/b-c/d=(ad-bc)/bd

Contoh 6 :
a.   2/8+3/8=(2+3)/8=5/8    c.   2/3+3/5=(2x5+3x3)/3x5=(10+9)/15=19/15
b.   1/7-2/5=(1x5-2x7)/7x5=(5-14)/35=-9/35    d.  2 1/5-1 3/7=11/5-10/7=(77-50)/35=27/35
 
Operasi Perkalian dan Pembagian

Pada perkalian dan pembagian bilangan riil berlaku rumus berikut:
1.  a x b=ab    3.  a x (-b)=-(ab)    5.  (-a)x b=-(ab)    7.  (-a)x (-b)=ab
2.  a∶ b=a/b
4.a∶(-b)=-(a/b)
6.  (-a)∶b=-(a/b)
8.  (-a)∶(-b)=a/b



Contoh 7 :
a. 2 x 5 = 10    c. 60 : -5 = - 12
b. -4 x -3 = 12    d. -12 : -6 = 2


Sifat-sifat pada operasi perkalian dan pembagian adalah sebagai berikut.
 
    Komutatif dan Asosiatif berlaku juga pada operasi perkalian, yakni.
 
    Komutatif, a x b = b x c

    Asosiatif, (a x b) x c = a x (b x c) ; a, b, c ϵ R
 
    Memiliki unsur identitas/elemen netral, yaitu 1
 
    Memiliki invers perkalian


Contoh 8 :
a. Invers perkalian dari 2 adalah 1/2               c. Invers perkalian dari  -3/5 adalah -5/3

b. Invers perkalian dari 2/3 adalah 3/2               d. Invers perkalian dari 2 1/3 adalah 3/7


Untuk perkalian dan pembagian pecahan berlaku rumus berikut:
1.   a/b  x  c/d=ac/bd    2.   a/b ∶  c/d=ad/bc



Contoh 9 :

Hukum asosiatif perkalian
(5 x 7) x -2
35 x -2
-70    =
=
=    5 x (7 x (-2))
5 x -14
-70


Contoh 10 :

Perkalian dan pembagian pecahan:
1.   3/4  x  2/5=(3 x 2)/(4 x 5)=  6/20=  3/10
2.   5/12 ∶  2/3=5/12 x  3/2=  15/24=  5/8

3.  2 1/5  x 1 3/7=11/5  x  10/7=  110/35=  22/7

Untuk perkalian dengan penjumlahan atau pengurangan berlaku sifat distributif, yaitu:
A X (B+C)= (A X B)+ (A X C)
A X (B-C)= (A X B)- (A X C)


Contoh 11 :
1.  2 x (5+8)= (2 x 5)+ (2 x 8)=10+16=26
2.  6 x (10-4)= (6 x 10)- (6 x 4)=60-24=36


Catatan.
Jika menyelesaikan operasi bilangan ril yang terdiri atas mutlioperasi, maka harus diselesaikan berdasarkan hierarki operasi bilangan ril, yaitu selesaikan dahulu operasi dalam kurung, pangkat, kali atau bagi kemudian jumlah atau kurang.


Contoh 12 :
1.  2+3 x 5= 2+ 15=17   Bukan 5 x 5=25
2.  10-4∶2 x 5=10-2 x 5=0  Bukan 6∶10  atau 10-4∶10=10∶0,4


 
Mengonversikan Pecahan ke Persen atau Sebaliknya
a/b  =a/b  x 100%           p %=  p/100


Contoh 13 :

Konversikan ke bentuk persen:
1.   1/2    2.   1/40    3.   7/8

Jawab :
1.   1/2  =1/2  x 100%= 50%    2.   1/40  =1/40  x 100%= 2,5%    3.   7/8  =7/8  x 100%= 87,5%


Contoh 14  :

Konversikan ke bentuk pecahan:
a.  1,5%    b.  25%
Answer:
Jawab :
1.  1,5%=1,5/100  =15/1000  =  3/200    2.  25%=25/100  =1/4

 
Mengkonversikan Pecahan ke Desimal atau sebaliknya
a/b  dihitung dengan a dibagi b




Contoh 15 :
Konversikan ke bentuk decimal :
a.   1/8    b.   2/5    c.   1/40
Jawab :
a.   1/8
 
    8 )(10) ̅ = 0,125
8/( 20)-
16/40-
40/0- 
 
Dengan cara yang sama 2/5=0,4


Dengan cara yang sama 1/40=0,025


Contoh 16 :

Konversikan ke bentuk pecahan:
a. 0,45        b. 0,0025            c. 0,272727….

Jawab:
1.  0,45=45/100=  9/20
2.  0,0025=25/10000=  1/400
3.  0,272727…=27/99  =  3/11

 
Contoh-Contoh Soal Aplikasi


Contoh 17 :

Dita membeli kalkulator seharga Rp250.000,00, kemudian ia menjualnya dengan harga Rp300.000,00. Berapa persen keuntungan yang diperoleh Dita?
Jawab:
Luck
Untung = Harga jual – Harga beli
      = Rp300.000,00 – Rp250.000,00 = Rp50.000,00

Prosentase keuntungan    =    untung/(harga beli)  x 100%
    =    50000/250000  x 100%=20%





Contoh 18 :

Tentukan nilainya pada soal-soal berikut:
 
12% dari Rp400.000,00

2/7 dari Rp140.000,00
 
0,7777… dari Rp81.000.000,00
 
0,7777… dari Rp81.000.000,00

Jawab:
    12% dari Rp400.000,00 = 12/100 x 400.000 = 4.800.000/100   = Rp48.000,00
     2/7  dari Rp140.000,00 =  2/7 x 140.000 = Rp40.000,
    0,7777… dari Rp81.000.000,00 =7/9  x 81.000.000 = Rp63.000.000,00
:
Contoh 19 :
Harga barang setelah diskon 25% adalah Rp337.500,00. Tentukan harga barang sebelum diskon.

Jawab:

Harga barang setelah diskon 25% menjadi 75% sehingga diperoleh skema sebagai berikut:
 
Harga Barang     
Persentase
Sebelum diskon :    X 
100%

Sesudah diskon : 
Rp337.500,00 

75%
    x/(337.500 )=  100/75 
    x=  (337.500 x 100)/75=450.000 

Jadi, harga barang sebelum diskon adalah Rp450.000,00


Contoh 20 :

Pak Abdullah akan menjual berasnya sebanyak 50 karung dengan berat per karung 50 kg. Ia akan menjualnya melalui seorang komisioner bernama Pak Yassin dengan kesepakatan tarra 2% , rafaksi 10% dan komisi 20%. Jika beras dijual Rp3.000,00 per kg. Tentukan:

Hasil komisi yang diterima Pak Yassin.
 
Hasil penjualan yang diterima Pak Abdullah.



Jawab:
a.  Berat bruto    = 50 x 50 kg    = 2.500 kg
 
b. Tarra    = 2% x 2.500 kg    =      50 kg _

c. Netto        = 2.450 kg
 
d. Rafaksi 
= 10% x 2.450 kg 
=    245 kg _
 
Berat bersih setelah rafaksi    =    2.205 kg

Hasil penjualan sebelum komisi

    = 2.205 kg x Rp3.000,00 = Rp6.615.000,00

Komisi yang diperoleh Pak Yassin
    = 20 % x Rp6.615.000,00 = Rp1.323.000,00

Keterangan:
% tarra = % berat pembungkus
Rafaksi = penyusutan
Bruto = berat kotor
Netto = berat bersih
b. Hasil penjualan yang diterima Pak Abdullah = Rp6.615.000,00 – Rp1.323.000,00
           = Rp5.292.000,00


Contoh 21 :

Seorang sales alat-alat elektronik akan mendapatkan bonus mingguan 7,5% jika omset penjualannya antara Rp5.000.000,00 sampai dengan Rp10.000.000,00; akan mendapat bonus 10% jika omsetnya antara Rp10.000.000,00 sampai dengan Rp20.000.000,00; dan akan mendapat bonus 15% jika omsetnya di atas Rp 20.000.000,00 dan gajinya Rp 1.750.000,00 per bulan .

Dari hasil penjualannya pada bulan Mei 2007 sebagai berikut:

minggu pertama omsetnya Rp7.500.000,00

minggu kedua omsetnya Rp28.000.000,00

minggu ketiga omsetnya Rp Rp3.000.000,00

dan minggu keempat omsetnya Rp17.000.000,00.

Tentukan gaji dan bonus yang akan diterima karyawan tersebut pada awal Juni 2007.

Jawab:

Bonus minggu pertama    = 7,5% x Rp7.500.000,00    = Rp562.500,00

Bonus minggu kedua    = 15% x Rp28.000.000,00    = Rp4.200.000,00

Bonus minggu ketiga    =  0% x Rp3.000.000,00    = Rp    0

Bonus minggu keempat = 10% x Rp17.000.000,00    = Rp1.700.000,00       +

Bonus total yang diterima sales    = Rp6.462.500,00

Jadi, jumlah gaji dan bonusnya pada awal Juni 2007 
    = Rp6.462.500,00 + Rp1.750.000,00 = Rp8.212.500,00.


Contoh 22 :

Seorang miliader meninggal dunia dan akan mewariskan hartanya kepada ketiga anaknya dengan pembagian sebagai berikut. Anak pertama mendapatkan jatah 30%, anak kedua dengan jatah 0,2222…., anak ketiga dengan jatah 1/5 dan sisanya disumbangkan kepada beberapa yayasan sosial. Harta yang ditinggalkan sebesar Rp18 miliar. Berapa jatah masing-masing anak dan yang disumbangkan kepada yayasan sosial tersebut?

Jawab :

Jatah anak pertama    = 30% x Rp18 miliar    = Rp5,4 miliar

Jatah anak kedua    = 0,222… x Rp18 miliar    = 2/9  x Rp18 milar = Rp4 miliar

Jatah anak ketiga    = 1/5  x Rp18 miliar    = Rp3,6 miliar

Harta yang disumbangkan ke yayasan    = Rp18 miliar – (Rp5,4 + Rp4 + Rp3,6) miliar
= Rp5 miliar
Atau
= (1-30%-0,222…- 1/5) x Rp18 miliar
= (1- 3/10- 2/9- 1/5) x Rp18 miliar
= ( (90-27-20-18)/90) x Rp18 miliar
= Rp5 miliar


Latihan 1 :

1. Ubahlah menjadi bentuk persen dan pecahan :
    a. 0,45
    b. 0,28
    c. ,025   
    d. 0,0025
    e. 0,00015
    f. 2,12


2. Ubahlah menjadi bentuk persen dan decimal :
    a.   3/16     d.   7/8    g.   9/4
    b.   5/16     e.   6/50     h.   9/8
    c.   3/20     f.  1 3/80     i.  2 17/40

3. Ubahlah menjadi bentuk pecahan :
    a. 0,888….
    b. 1,363636…
    c. 0,222…
    d. 0,121212…
    e. 0,630630…     
    f. 1,02222…
    g. 0,0363636…
    h. 0,05555….
    i. 2,121212….
    j. 0,0272727…
4. Selesaikan soal-soal berikut :
    a. 128 + (-39)
    b. 8 + (-7)
    c. -6 – 9
    d. -12 x 5
    e. 28 : -4   
    f. -138 + (-80) + 50
    g. 57 – (-24) -21
    h. 8 : 2 x 5 + 3
    i. 4 – 3 x 2
    j. 5 – 4 +8 + (-3)

5. Selesaikan soal-soal berikut :
    a.  2 1/5+ 3 1/2 
    b.  1 5/8+  3/4 
    c.   5/8+  2/9
    d.  3 1/3+ 2 1/2 
    e.  5 1/3- 1 1/2 
    f.  3 1/2- 1 1/6 
    g.   3/4+  5/6-  1/2
    h.   5/6-  4/7+ 2 1/2
    i.   1/2+  5/6-  2/3
    j.  2 1/5: 1 3/7
    k.  3 1/6+ 2 3/7
    l.  4 2/5- 3 3/8+ 1 5/2  -  3/3

6.  Badru meninggal dunia dan hartanya sebesar Rp120.000.000,00 akan diwariskan kepada 4 anaknya.      Ketiga anaknya masing-masing akan mendapatkan 1/3, 1/(4 ) dan 1/5 dari harta warisannya. Sisanya diberikan kepada anaknya yang keempat. Berapakah warisan yang diperoleh mereka masing-masing?

7. Neni akan menjual berasnya sebanyak 75 karung dengan @ 60 kg, melalui seorang komisioner bernama Bahlul dengan ketentuan sebagai berikut. Tarra 1%, rafaksi 5% dan komisi 10%. Jika harga beras Rp4.000,00 tiap kg, tentukan:
 
komisi yang diterima Bahlul,
hasil penjualan yang diterima Neni.

8. Harga kalkulator setelah diskon 7% adalah Rp60.450,00. Tentukan harga kalkulator sebelum diskon.
Usman mengikuti suatu multilevel marketing (MLM) dengan ketentuan sebagai berikut.
Akan menerima bonus 3% jika omset < Rp5.000.000,00.
 Bonus 5% jika Rp5.000.000,00 < omset < Rp50.000.000,00.                                                                    Bonus 10% jika omset Rp50.000.000,00 lebih.                                                                                         Bonus kerajinan 6% dari omset,


9. Pada bulan Januari, Februari, dan Maret omset Usman berturut-turut Rp3.500.000,00; Rp18.000.000,00; dan Rp50.000.000,00. Tentukan total bonus yang diterima Usman selama tiga bulan tersebut.


 
10. Seorang pedagang buah membeli mangga 1,5 kwintal dengan harga Rp5.000,00 per kg, 80 kg dengan harga Rp3.500,00 per kg, dan sisanya dijual dengan harga Rp2.000,00 per kg. Untung atau rugikah pedagang tersebut dan berapa untung atau ruginya?

11. Pak Pohan membeli 51 buku kwitansi dan mendapatkan diskon 15%. Jika Pak Pohan harus membayar ke kasir sebesar Rp306.000,00, berapa harga sebuah buku kwitansi tersebut sebelum diskon?
 
12. Badu, Tono, dan Deni akan membuka usaha bersama dengan nama “Grosir Alat Tulis” dengan modal masing-masing: Rp6.000.000,00; Rp9.000.000,00; dan Rp5.000.000,00. Pada akhir tahun pertama grosirnya mendapatkan Sisa Hasil Usaha (SHU) sebesar Rp30.000.000,00 dan pembagian SHU berdasarkan persentase modalnya dengan ketentuan 20% dari SHU digunakan untuk penambahan modal usaha. Berapa SHU yang diterima Badu, Tono dan Deni pada akhir tahun pertama?
 
13. Seorang pedagang berhasil menjual dagangannya Sebesar Rp280.000,00. Jika pedagang tersebut untung 12 %, tentukan harga beli barang tersebut.
                                                                                                                                                                  14.  Seorang karyawan mendapat bonus sebesar 12,5% dari gajinya karena rajin. Gaji karyawan semula Rp800.000,00, berapa gaji karyawan setelah mendapat bonus?
                                                                                                                                                               15. Badu menabung di bank sebesar Rp2.500.000,00. Jika bank memberikan bunga 6,5% setahun, tentukan uang Badu setelah satu tahun.

    Perbandingan Senilai
Perbandingan disebut sebagai perbandingan senilai jika dua perbandingan nilainya sama, yaitu
a/b=  a_1/b_1    atau a x b_1  =a_1  x b


Contoh 23 :

Lima liter minyak mempunyai massa 4 kg dan 10 liter minyak mempunyai massa 8 kg. Perbandingan antara kuantitas minyak dan massanya dituliskan sebagai: 5 : 10 = 4 : 8 atau 1 : 2 = 1 : 2


Contoh 24 :
Perbandingan panjang dan lebar suatu bangunan adalah 3 : 2. Jika lebarnya 8 m, tentukan panjang dari bangunan tersebut.

Jawab :
p/l=  3/2   ↔  p/8=  3/2   ↔  p=  (3 x 8)/2   ↔  p=12

Perbandingan Berbalik Nilai

Perbandingan disebut perbandingan berbalik nilai jika dua perbandingan harganya saling berbalikan. Perbandingan berbalik nilai dapat dirumuskan dengan:
a/b=  b_1/a_1    atau a x a_1  =b_1  x b


Contoh 25 :
Suatu mobil berjalan sejauh (S) 120 km dalam waktu (t) 4 jam pada kecepatan (v) 30 km/jam. Bila kecepatannya 60 km/jam, maka jarak tersebut ditempuh dalam waktu 2 jam. Artinya, jika kecepatan mobil dilipatkan dengan suatu bilangan maka waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak yang sama dibagi sesuai dengan bilangan kelipatannya.


ontoh 26 :.
Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 3 pekerja selama 15 hari. Tentukan banyak  pekerja yang harus ditambahkan agar pekerjaan dapat diselesaikan dalam waktu 5 hari.

Jawab:
     
Pekerja            Waktu             (Perbandingan berbalik nilai)
3 orang            15 hari
x                5 hari
3/x=  5/15   ↔   (3 x 15)/5↔x=9
Jadi, pekerja yang perlu ditambahkan adalah (9 – 3) = 6 orang.


Contoh 27 :

Harga jual mesin ketik elektrik adalah Rp862.500,00. Jika dari harga penjualan tersebut mendapatkan untung 15%, tentukan harga belinya.
Jawab:

Harga jual setelah untung 15% menjadi 115%, sehingga diperoleh
            Harga barang            Persentase
Harga jual        Rp862.000,00            115%
Harga beli            x            100%
862.500/x=115/100    ↔  x=  (862.500 x 100)/115   ↔  x=750.00

Jadi, harga beli adalah Rp750.000,00

Contoh 28 :
Harga 100 buah buku besar setelah diskon 17,5% adalah Rp701.250,00. Tentukan besarnya diskon.



Jawab:
Harga barang setelah diskon 17,5% menjadi 82,5%, sehingga diperoleh
            Harga barang            Persentase
Diskon            x            17,5%
Sesudah diskon    Rp701.250,00            82,5%
x/701.250=17,5/82,5    ↔  x=  (701.250 x 17,5)/82,5   ↔  x=148.750

Jadi, besarnya diskon adalah Rp148.750,00.


Contoh 29 :
Karena malas, seorang karyawan dipotong gajinya sebesar 14%. Gaji karyawan setelah dipotong menjadi Rp1.032.000,00. Berapa gaji mula-mula sebelum dipotong.

Jawab:
Gaji setelah dipotong 14% menjadi 86%, sehingga diperoleh
    Persentase of salary         Percentage
Gaji                Persentase

Sebelum dipotong            x            100%

Sesudah diskon        Rp1.032.000,00                         86%
x/1.032.000=100/86    ↔  x=  (1.032.000 x 100)/86   ↔  x=1.200.00
Jadi, gaji sebelum dipotong adalah Rp1.200.000,00.


Contoh 30 :
Seorang pengusaha rotan menerima order dari pengusaha Saudi Arabia untuk mengekspor hasil kerajinan rotannya. Untuk itu, pengusaha tersebut akan mempekerjakan 500 pengrajin dan akan diselesaikan dalam waktu 18 hari. Setelah berjalan 6 hari, pekerjaan dihentikan selama 2 hari. Supaya pekerjaan selesai pada waktu yang telah direncanakan, tentukan jumlah pekerja yang harus ditambah.

Jawab:
Setelah berjalan 6 hari, waktu yang tersisa hanya 12 hari, istirahat selama 2 hari, sehingga waktu yang tersisa untuk menyelesaikan bangunan sesuai rencana hanya 10 hari. Akibatnya harus menambah pekerja. Untuk menyelesaikannya, lihat penyelesaian berikut.

                Pekerja            Waktu

Rencana semula        500                12 hari

Waktu tersisa        x                10 hari
x/500=12/10    ↔  x=  (12 x 500)/10   ↔  x=600
Jadi, pekerja yang harus ditambah (600 – 500) pekerja adalah 100 pekerja. .
Jadi, pekerja yang harus ditambah (600 – 500) pekerja adalah 100 pekerja.


    Skala
Skala ialah bentuk perbandingan senilai dari ukuran suatu besaran nyata. Simbol untuk menyatakan skala adalah “ : “
Misalnya skala pada peta tertulis 1 : 1.000.000 artinya jika pada peta 1 cm, maka jarak sebenarnya adalah 1.000.000 cm atau 10 km.


Contoh 31 :
Jarak 2 kota pada peta 7,5 cm. Jika skala pada peta 1 : 150.000, berapakah jarak sesungguhnya?

Jawab:

Jarak sesungguhnya = 7,5 cm x 150.000
    = 1.125.000 cm = 11,25 km


Contoh 32
Panjang sebenarnya suatu pintu 2,2 m, dan dilukis oleh arsitek dengan skala 1: 55. Tentukan panjang pintu dalam lukisan.

Jawab:
Panjang pintu dalam lukisan = 2,2 m : 55 = 220 cm : 55 = 4 cm

Contoh 33 :

Jarak Jakarta – Surabaya sesungguhnya adalah 800 km. Jika di dalam peta digambar sepanjang 20 cm, tentukan skalanya.

Jawab:
Skala = 20 cm : 800 km
            = 20 cm : 80.000.000 cm = 1 : 4.000.000
:
 Contoh 34 :
Jarak Jakarta – Cirebon sesungguhnya adalah 280 km, digambar dalam peta 14 cm. Berapakah jarak sebenarnya Jakarta – Subang yang di dalam peta berjarak 8 cm?
Jawab:
(Jarak sebenarnya 1)/(Jarak sebenarnya 2)=  (Jarak dalam peta 1)/(Jarak dalam peta 2)
(280 km)/x=  (14 cm)/(8 cm)   ↔  x=  8/14  x 280 km  ↔  x=160 km
Jadi, jarak Jakarta – Subang adalah 160 km.




Latihan 2
Seorang tukang bangunan dapat menghabiskan 2 sak semen untuk membangun 10 m2 dinding. Jika dia akan membangun dinding seluas 15 m2, berapa sak semen yang diperlukan?

Suatu gedung direncanakan akan dibangun selama 60 minggu dengan 500 pekerja. Jika rencana pembangunan gedung dipercepat menjadi 50 minggu, berapa pekerja yang harus ditambah?
 
Panjang as sebuah rotor digambar dengan panjang radiusnya 5 cm. Jika skala ukuran itu 1 : 20, berapakah ukuran radius sesungguhnya?
 
Panjang sebuah mobil sedan sesungguhnya adalah 3,5 m. Berapakah panjang sedan pada layar TV jika skalanya 1 : 50?
 
Sebatang perunggu terbuat dari 100 Kg tembaga, 20 Kg timah hitam, dan 30 Kg timah putih. Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu?
    .
Jika jarak Solo-Surabaya sebenarnya 500 km ternyata di gambar dalam peta hanya 25 cm. Tentukan skalanya.

Dalam peta, jarak kota A – B = 13 cm dan jarak kota C – D = 18 cm. Jika jarak sebenarnya kota A – B adalah 390 km, berapakah jarak sebenarnya kota C – D?
 
Ujang jalan-jalan dengan mobil bersama temannya ke Bandung. Kecepatan rata¬rata mobil yang dikendarai 50 km/jam, dan memerlukan waktu 4 jam untuk sampai di Bandung. Badru terlambat 1,5 jam dibanding Ujang dan menyusul dengan menggunakan mobil lain. Jika Badru menghendaki sampai di Bandung bersama-sama dengan Ujang, maka berapa kecepatan rata-rata Badru mengendarai mobilnya?

Sederhanakan perbandingan di bawah ini.
    5 : 125 
    2 1/2 ∶1 1/4
    12 : 80 
    2,5 m : 50 cm   
    3 1/2 ∶10 1/2     

Perbandingan panjang : lebar : tinggi suatu balok adalah 7 : 3 : 2. Jika lebarnya 12 cm, tentukanlah:
panjang dan tinggi balok,
jumlah panjang rusuk balok.

Karena prestasinya baik, seorang karyawan mendapatkan bonus 23% dan ia menerima gaji dengan bonusnya sebesar Rp1.722.000,00. Tentukan gaji karyawan tersebut sebelum ditambah bonus. Seorang pedagang mendapatkan kerugian 34%. Jika barangnya dijual dengan harga Rp165.000,00, hitung kerugiannya.
                                                                                                                                                                                                                                           
Seorang tukang akan membuat pintu dengan bentuk persegi panjang. Pada gambar panjangnya 4 cm dan lebarnya 2 cm. Jika panjang pintu sebenarnya 2,5 m, hitunglah lebar daun pintu sebenarnya.

Seorang pemborong bangunan harus mengeluarkan uang Rp30.000,00 per orang setiap harinya untuk menyelesaikan suatu pekerjaan. Jika 5 orang dapat menyelesaikan pekerjaan itu selama 10 hari, maka untuk menyelesaikan pekerjaan selama 5 hari, hitunglah:
jumlah pekerja yang diperlukan pemborong itu, dan
jumlah uang yang dikeluarkannya.

Sebuah lukisan berukuran 20 cm x 25 cm. Jika skalanya 1 : 200, berapakah ukuran luas lukisan itu sesungguhnya?

Jumlah siswa SMK Kelompok Bisnis dan Manajemen sebanyak 600 orang, terdiri atas 40% memilih jurusan Akuntansi, 25% memilih jurusan Administrasi Perkantoran, dan sisanya memilih jurusan Penjualan. Berapakah jumlah siswa masing-masing jurusan tersebut?

Jumlah uang Neni, Liana dan Devi besarnya Rp390.000,00. Jika perbandingan uang Neni : Lliana : Devi adalah 5 : 2 : 6, tentukan uang mereka masing-masing. Denah rumah dibuat dengan skala 1: 100. Jika luas pada denah 1 cm2, berapakah luas sebenarnya?Jika luas pada denah 18 cm2, berapakah luas sebenarnya?

Suatu gedung direncanakan akan dibangun oleh 200 pekerja selama 75 minggu. Setelah berjalan 15 minggu, pembangunan dihentikan sementara selama 20 minggu. Jika pembangunan ingin selesai sesuai rencana semula, berapakah pekerja yang harus ditambahkan dalam pembangunan tersebut? Skala denah suatu gedung 1: 400. Luas tanah yang akan dibangun berukuran 80 cm x 50 cm. Berapa:
ukuran tanah sebenarnya? luas tanah sebenarnya?

Harga barang setelah diskon 17,5% adalah Rp123.750,00.Tentukanlah harga barang tersebut sebelum diskon.

Karena kurang laku, toko elektronik mengobral mesin ketik elektriknya sehingga hanya memperoleh hasil penjualan Rp1.424.000,00. Setelah dihitung, toko tersebut rugi 11%. Tentukan harga belinya.

Terima Kasih Semoga ilmu dari saya bermanfaat bagi anda..